1 – «Em todo o mundo se fazem festas.» – Todo é um determinante indefinido?
Todo é um determinante indefinido, pois encontra-se em posição pré-nominal, juntamente com o artigo definido.
Podem aparecer combinações de dois ou mais determinantes. Ao contrário do que acontece com os outros determinantes, todo e ambos antecedem o artigo pertencente ao mesmo sintagma.

2 – «Tudo isto foi retransmitido em écrans gigantes.» – Tudo é um pronome indefinido e isto é um pronome demonstrativo?
Tudo é normalmente um pronome, mas tem função adjectiva quando combinado com os pronomes demonstrativos invariáveis isto, isso, aquilo e o.
Assim, na expressão tudo isto, tudo é determinante indefinido, e isto é pronome demonstrativo.

3 – «Todos quantos passaram lá por casa, tiveram direito a uma prenda.» – Todos é um determinante indefinido? E quantos? Um pronome indefinido?
Todos é um pronome indefinido, que desempenha a função de sujeito na oração principal «Todos… tiveram direito a uma prenda», e quantos um pronome relativo, que tem também a função de sujeito na oração relativa «quantos passaram lá por casa».
O pronome todos é, então, o antecedente do relativo quantos.

4 – «As meninas vestidas de branco estavam junto ao altar.» – Branco é um nome?
Branco, nesta frase, é um nome ou substantivo, pois equivale a «cor branca» e, para além disso, vem precedido de uma preposição, tal como acontece, por exemplo, com a expressão «vestidas de cetim».
Cf. «Escrito a preto profundo»

5 – «Fiz as malas com tempo, só que tenho sempre de me esquecer de alguma coisa.» – Só é um advérbio? E que? É uma conjunção de coordenação?

Segundo o dicionário Houaiss, a locução só que é um «introdutor de construção adversativa, contrastiva, restritiva». Equivale, pois, a mas, porém, no entanto, etc.

6 – «Eu é que tomei a iniciativa.» – Como classificar este que? Tanto quanto sei a expressão permite realçar o sujeito, mas não consigo classificar o 'que'.
É que é uma expressão de realce, que não exerce na frase nenhuma função gramatical.