É minha opinião que os nomes próprios devem, na medida do possível, aportuguesar-se, quer se trate de antropónimos, quer de topónimos. O vernáculo português é Isabel, e como tal deve usar-se, dado que Elisabete é um anglicismo, como seria um Marguerete em vez de Margarida, ou Carol, Charles, Karl em lugar de Carlos, etc. É por estas razões que dizemos Londres e não London, Bucareste e não Bucuresti, Nova Iorque e não New York, Moscovo e não Moskvá, etc.
N.E. (16/03/2018) — Elisabete não tem só origem no inglês Elizabeth, como atesta o Dicionário Onomástico e Etimológico, de José Pedro Machado, e também, por exemplo, aqui, aqui e aqui.
