O dito está correto, porque se usa o verbo esparramar na seguinte aceção:

(1) «crescer, lançando ramos em todas as direções (ger. planta). Ex.: a aboboreira se esparramou pelo quintal» (Dicionário Houaiss).

Em (1), o verbo é usado pronominalmente, mas o pronome pode eventualmente ser omitido, porque esparramar faz parte de uma série de verbos que apresentam a chamada alternância causativa, isto é, trata-se de verbos que podem ser usados ora como transitivos ora como intransitivos:

(2) O padre casou o João e a Rita./ O João e a Rita casaram-se./ O João e Rita casaram.

Neste grupo de verbos, encontram-se muitos que só opcionalmente são conjugados pronominalmente (é o caso de casar). O exemplo de uso incluído em (1) sugere que o pronome se é obrigatório, mas a sua omissão é aceitável, como se infere de outro uso de esparramar na fonte consultada (idem):

(3) «cair ao comprido ou deitado; estatelar(-se), escarrapachar(-se). Ex.: esparramou(-se) na lama.»

Tudo isto permite aceitar a frase «batatinha, quando nasce, esparrama pelo chão».