A estrutura correta é: «Já tenho problemas que cheguem.»

O verbo chegar deverá estar no plural em concordância com o seu sujeito, que é o pronome relativo que. Este pronome tem como antecedente o nome problemas, que se encontra no plural.

Se, em vez da oração relativa, tivéssemos um adjetivo, o mesmo estaria igualmente no plural, em concordância com o nome que modifica:

«Já tenho problemas suficientes.»

Do mesmo modo, aconselha-se o uso do plural na construção «Já bastam os problemas que tenho».

N. E. – Sobre este uso do verbo chegar, um consulente levantou dúvidas com base numa análise alternativa do professor Fernando Venâncio (ver página ne Facebook), segundo a qual «que chegue» tem valor adverbial, o que dispensa a concordância. Segue-se um breve comentário da autora da resposta:

Mantenho a minha convicção de que a construção correta é: «já tenho problemas que cheguem», com base na seguinte fundamentação:

1. A hipótese da cristalização só é válida quando a expressão «que chegue» modifica verbos, uma vez que aí a palavra «que» não é um pronome relativo:

a)   Já dormimos que chegue. (*que cheguem)

(b)   As crianças comeram que chegue. (*que cheguem)

Nestes casos, temos uma expressão com valor adverbial = suficientemente / muito:

(a)   Já dormimos suficientemente.

(b)   As crianças comeram muito.

2. Quando a expressão «que chegue» modifica nomes, já não assume esse valor adverbial. Os nomes nunca estabelecem relações sintáticas com advérbios. Se assim não fosse, seria possível substituir essa expressão por um advérbio:

(c)    * Já tenho problemas suficientemente.

(d)   * Já tenho problemas muito.

A agramaticalidade acima mostra que, de facto, a expressão «que cheguem» não tem valor adverbial, mas sim adjetival. O que prova que a palavra que, na frase «tenho problemas que cheguem», é um pronome relativo, devendo, por isso, desencadear a concordância verbal: cheguem.

3. Em suma, com verbos, que é invariável (não é um pronome relativo), logo, não é o sujeito do verbo chegar. Com nomes, que é semanticamente variável (é um pronome relativo), logo, é o sujeito do verbo chegar.

4. Em relação ao Corpus de Referência do Português Contemporâneo (CRPC), existem centenas de exemplos em que há concordância.