Não é nada incorrecto pormos muitas vírgulas num período, se elas estiverem empregadas segundo as regras. Às vezes, podemos empregar travessões, principalmente quando o que fica entre os travessões é um aparte, como é (ou parece ser) no caso da frase apresentada.
   Aqui vai um exemplo dum período com muitas vírgulas transcrito dum livrito antigo lido há umas horas. A ortografia é a da época – há uns duzentos anos:
   "Era muito antiga esta capella, que, em tempo, teve annexo um hospital, que seria, primitivamente, gaffaria."