O constituinte em questão desempenha a função de modificador do grupo verbal.
O verbo cair é usado sobretudo como intransitivo (1) e, pontualmente, como copulativo (2)1:
(1) «Ele ia a correr e caiu.»
(2) «O comentário caiu mal.»
Como intransitivo, o verbo cair pode ser acompanhado de constituintes que o modificam com um valor de origem (3), de alvo (4), de temporalidade (5), de lugar (6), entre outros:
(3) «A pedra caiu do céu.»
(4) «As culpas caíram no João.»
(5) «O Natal cai num domingo.»
(6) «A Rita caiu no chão.»
No caso da frase apresentada, transcrita em (7), o constituinte «sobre mim» dá uma informação sobre lugar:
(7) «A árvore caiu sobre mim.»
O verbo cair tem ainda a particularidade de ser um verbo inacusativo, ou seja, trata-se de um verbo cujo objeto funciona como o sujeito da construção. Os verbos inacusativos constituem um tipo de verbos intransitivos e caracterizam-se por selecionar um único argumento, que desempenha a função de sujeito. Eis alguns exemplos de verbos inacusativos2:
(8) «A Joana acordou.»
(9) «O João apareceu.»
(10) «O dia surgiu.»
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1. Para a análise do verbo cair, consultaram-se as seguintes fontes: Casteleiro (dir.), Dicionário gramatical de verbos portugueses. Texto editores, 2007; Luft, Dicionário prático de regência verbal. Ed. Ática, 2008.
2. Para mais informações, cf. Gonçalves e Raposo in Raposo et al., Gramática do Português, Fundação Calouste Gulbenkian, 2013, p. 1199 – 1206.